Родился в 1945 году в Нижегородской области. Окончил строительное училище. Работал на стройках народного хозяйства в Красноярске, участвовал в геологоразведке в Сибири. Службу в армии проходил в Монголии.
В 1967 году устроился работать в правоохранительные органы. Окончил Хабаровскую школу милиции, затем заочно – Омскую школу милиции (следственное отделение). Трудился следователем в правоохранительных органах Сибири, был начальником следственного отдела. В 1984 году переехал в Орёл. С 1987 года проживает в Колпне. Продолжал службу следователем в Колпнянском райотделе, работал юристом. Есть дети и внуки.
А. Квашенников – ветеран МВД, ведет здоровый образ жизни, занимается бегом. С 1990 года увлекается поэтическим творчеством, пишет прозу. В 1999 году вышел его первый поэтический сборник «Я пою, когда люблю», затем – «Второе дыхание» (2004 год), в 2007 году – прозаический «Записки следователя», за который он был награжден дипломом III степени УМВД России по Орловской области. Сборник «Круговерть» появился в 2011 году, «Родники» – в 2013 году.
С 2012 года Александр Николаевич является членом Орловского отделения Союза литераторов России, регулярно печатается в районной газете и областных альманахах.